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[转贴] 拿破仑定理——皇帝的数学功底

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发表于 2008-8-23 14:22:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
拿破仑·波拿巴 (Napoleon Bonaparte, 1769—1821) 对数学和数学家怀有特别的敬意, 并且欣赏他自己提出的问题.事实上, 以下定理即归属于他:
  ——以任意三角形的三条边为边, 向外构造三个等边三角形, 则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点.


拿破仑定理:
三角形ABC中,向三边分别向外侧作正三角形,然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形.
这一定理可以等价描述为:若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形,则它们的顶点构成一个等边三角形.

  下面介绍拿破仑定理的两种推广:

  定理1  以△ABC的三边为底边各向形外作等腰三角形BCD,CAE和ABF,这三个等腰三角形的底角各为α,β和γ,且α+β+γ=90°,则

  ∠FDE=90°-α,∠DEF=90°-β,∠EFD=90°-γ.



  证明 为方便计,把△ABC的三内角简记为A、B、C.因DC=DB,则可将△DCE绕D点旋转∠BDC至△DBG位置,连FG.

  ∵∠FBG=360°-∠DBF-∠DBG

  =360°- (α+β+γ) - (α+C+β)

  =180°-B-C+180°-2(α+β+γ)+β+γ

  =A+β+γ=∠FAE.

  又BG=CE=AE,FB=FA,

  ∴△FBG≌△FAE,FG=FE.

  从而△DGF≌△DEF,∠FDG=∠FDE,

  

  同理∠DEF=90°-β,∠EFD=90°-γ.

  
定理2.在△ABC的外侧作三角形△BCP、△CAQ和△ABR,使∠PBC=∠QAC=α,∠PCB=∠QCA=β,∠RAB=∠RBA=γ,且α+β+γ=90°,则RQ=RP,且∠QRP=2α.

  证明 RB绕R逆时针旋转2α至RG,连BG、AG、QG.

  ∵∠GBA=∠GBR-γ

   =90°-α-γ

  =β

  又RA=RB=RG,

  即R为△ABG的外心,

  



  ∴△ABG∽△ACQ∽△BCP,

  

  又∠BAC=∠GAQ,

   

  

  又∠RGQ=∠AGQ+∠AGR

  =∠ABC+α+γ=∠RBP,

  ∴∠RGQ≌△RBP.

  ∴RQ=RP.

  又因∠GRQ=∠BRP,

  ∴∠QRP=∠GRB=2α.
以上摘自百读拿破仑吧.

下面介绍一个更好想的方法:
计算法:
设新三个三角形的中心分别是O1 O2 O3,
设出角度及边长,表达出∣O1O2∣及∣O1O3∣的长.经计算均等于(a2+b2+c2)/6]+(abc/2*√3*R)
其中分别为三边长,R为三角形ABC外接圆半径
有兴趣的朋友可以试试(尤其是高中朋友,可作为三角部分的练习题)
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发表于 2008-8-23 16:04:42 | 显示全部楼层
这个定理以前有个讨论。
http://bbs.napolun.com/viewthread.php?tid=20615
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 楼主| 发表于 2008-8-23 16:33:42 | 显示全部楼层
老天,05年就讨论了。。。。
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发表于 2008-8-24 15:26:55 | 显示全部楼层
原來拿破崙的數學很厲害的!  
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 楼主| 发表于 2008-8-24 21:45:07 | 显示全部楼层

回复 4# 的帖子

快去,你已是军团司令!
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发表于 2008-8-25 09:29:21 | 显示全部楼层
只要百度上能找到的,都已经传上来了,应该在外国网站下功夫。
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