论文中数学问题的还原（4步中有3步已经清楚了）

朔风

关于皇帝早年论文中的数学推演，现在第一步，第三步与结果那一步都基本清晰了，在此列出我的想法，以供大家讨论。

首先，这个印刷版错误很多。由于皇帝的手写字体一向以潦草著称，同时整理手稿的人可能本身就不注意论文的数学逻辑性，导致后来的印刷错误频繁。最有可能的错误是将数学符号写错，或者将数学符号放错地方，但是整体结构应该八九不离十。

因此，让我们先来看看第一步：

"H：L=sqrt(1):sqrt(2) 或者说 H=L+sqrt(1)/sqrt(2)"

这一步最明显的错误是×变成了+，正确的应该是H=L×sqrt(1)/sqrt(2)

这一点是最明显的错误，已经很早就澄清了。

现在我们知道第一步是：H=L×sqrt(1)/sqrt(2)
那么接着看第二步。

第二步是在等式的两边使用LOG

logH=logL+log(某分数）-log(某分数）

我们知道LOG法则：LOG （A×B）=LOG A + LOG B，LOG （A/B）= LOG A - LOG B

很显然这里的sqrt(1)/sqrt(2)被分解成了两个分数，也就是说A/B = sqrt(1)/sqrt(2)，所以才可以依据LOG法则形成LOG A - LOG B的格式。可是到底是哪两个分数呢？1/sqrt(2)，看不出怎么分解成两个分子与分母都是有理数的分数，于是我估计这是一种估算，将1/sqrt(2)估算为3/4，我的步骤如下：
1/sqrt2 = sqrt2/2 = 2sqrt2/4 = sqrt8/4 约等于 sqrt9/4 = 3/4 = (1/2)/(2/3）

log ((1/2)/(3/2)) = log1/2 - log 3/2

好，那么假设事实如此，第二步已经澄清。继续看第三步。

第三步是真正遇到麻烦了。印刷页显示的是logH=logL+log(2/2)

这是不可能的。因为log(2/2)=log(1)=0，H就等于L了。所以2/2是个错误，我原先猜测这一定是其余的分数，那么是什么呢？第二步的log A - log B 在第三步成了log C, 那么根据LOG定律，C一定等于A/B，所以C=3/4。可是，既然第二步已经估算到了3/4并分解为了1/2除以2/3，log1/2-log2/3，为什么第三步又要回到3/4，这如同原地打转。

再看看第四步，也就是结果，彻底的混乱，根本搞不清用LOG的目的，也不知道0.150515是哪来的。

以上内容在这里有讨论：http://bbs.napolun.com/thread-27447-2-1.html

至此，我猜测使用LOG是为了估算根2的，但是具体怎么估算，毫无头绪。

今天接到了一位数学高人的邮件回复，在他的点示下，忽然想通了

回到我们的第一步：

H=L×sqrt(1)/sqrt(2)

如果我们使用LOG，将会变成：logH=logL+log(1/sqrt(2)) 我们称之为第二步

我们知道LOG定理中还有一条：logA^b=b×logA

这样的话，我们可以这么简化第二步：

logH=logL+log(1/sqrt(2))

logH=logL+log1-log(sqrt(2))

logH=logL-log(sqrt(2))

logH=logL-log(2^(1/2))

logH=logL-(1/2)(log2)

logH=logL-(log2)/2

现在看看最终的简化结构，是不是很眼熟呢？没错，因为这个就是真实的第三步。印刷版上的第三步是logH=logL+log(2/2)，这一步总共有两个印刷错误：第一，也是之前犯过的，运算符号错了。减号变成了加号。第二，log符号本来应该在分子2的左边，但是被拉了下来，也就是说本来的（L2)/2在印刷的时候成了L（2/2）！这样的话意思就全变了。

所以真实的第三步是logH=logL-(log2)/2

那么真实的第四步也就出来了！

因为LOG A - LOG B = LOG (C) 如果C=A/B

所以，在这里H=L/((log2)/2)

(log2)/2则约等于0.150515。

现在，H=L/0.150515，这就是真实的第四步！最初的想法是正确的，那就是LOG的使用就是用来估算根2的。因为当时没有计算器，而手开方一直盛行于东方，很晚才传入欧洲。而相比之下，对数LOG却很早就在欧洲普及了。根据WIKI，http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm

Besides the tables mentioned above, a great collection, called Tables du Cadastre, was constructed under the direction of Gaspard de Prony, by an original computation, under the auspices of the French republican government of the 1700s. This work, which contained the logarithms of all numbers up to 100,000 to nineteen places, and of the numbers between 100,000 and 200,000 to twenty-four places, exists only in manuscript, "in seventeen enormous folios," at the Observatory of Paris. It was begun in 1792; and "the whole of the calculations, which to secure greater accuracy were performed in duplicate, and the two manuscripts subsequently collated with care, were completed in the short space of two years." [13] Cubic interpolation could be used to find the logarithm of any number to a similar accuracy.

在1700年的时候，法国就已经有了包含直至100000的所有对数的表格，精确到19位。log2自然也不例外。

所以皇帝用LOG的奥妙在于，通过LOG消除了根号，将1/sqrt(2)简化成了-(log2)/2。接下来，他只需要一查对数表，再将结果乘以0.5，就可以轻松得出0.150515的结果了。

至此，第一，第三和第四步都可以解释了。

第二步仍然是个谜，因为显然我先前猜测的估算法这条路是走不通的。按我先前猜测的第二步走，根本走不到第三步和第四步。

不过现在可以说，寻求第二步已经变成了一个纯粹的趣味数学问题了，因为皇帝的大体运算逻辑，我们已经了解了。第二步存在与否其实都是无足轻重的，按我们现在的逻辑，已经可以解释除第二步以外的所有步骤，以及皇帝的估算思维。

在此感谢VV，他的观点给了我不小帮助，另外顺便感谢永远看不懂这个贴的帮助我的那位数学高人，Dr.Malcolm Harper

diaoduoxi

我高中数学全部忘记了 只能纯支持了！

朔风

呵呵，感谢。精神上的支持也是支持，正是在你们这些朋友的支持授教之下，我才能一步步学习长进，至今为止仍不断在论坛锻炼自我，学到新的东西，感谢感谢～

做每一件事说不定都能得到先前未曾预料的磨练，这次翻译论文真是真切体会到了这一天。

蓝色兄以后多分派点任务吧，当然我接不接则依据任务是否有意义来定

蓝色拿破仑

下次出电子书，这位海外高人也要列在功勋簿上。
那么这回可不可以按照原文进行翻译推算部分了呢？

PS朔风：
我会确保让你磨练够这种论文。
博物馆里的拿破仑研究杂志里的论文……

[ 本帖最后由 蓝色拿破仑 于 2008-6-3 12:32 编辑 ]

朔风

那么这回可不可以按照原文进行翻译推算部分了呢？

原版印刷导致的错误，原封不动放上去会让人看的一头雾水。所以我考虑是，在译文的那两段之间加上原版的步骤（原封不动放上去），但是标注一下，告诉读者这里印刷错误很多，同时在注释里列上还原后的步骤。

不过我不知道讲的是否清晰，所以麻烦你通读一下，看看你能否读懂。哪个地方读不懂就反馈给我，我会修改的。

蓝色拿破仑

好的，你就把整个论文照着贴上去，用数字标号，下面注释你的论证就可以了。后面的我编辑好，包括以前的论证探讨。最后我打印出来慢慢琢磨，以后可以去找数学系的人分析一下。

第四张下面有一句话注释，不知道是什么意思。

朔风

原帖由 蓝色拿破仑 于 2008-6-3 12:41 发表
好的，你就把整个论文照着贴上去，用数字标号，下面注释你的论证就可以了。后面的我编辑好，包括以前的论证探讨。最后我打印出来慢慢琢磨，以后可以去找数学系的人分析一下。

第四张下面有一句话注释，不知道是什 ...

我的意思是贴到原文里的还是有印刷错误的那几步（不改动原版），然后在后面的注释写上还原后的这些步骤。

第4页下面的注释，意思是指在这段算法之前的除以0.7的那个算法只是估算。

蓝色拿破仑

对。我就是这个意思。原文不改，注释里分析。
还原吧，我去打印。

朔风

已经还原了。

其实不必再请教咱们论坛以外的别的人了，第二步的存在可有可无，不影响对于整个推导的理解，只不过是一个数学问题而已。

你通读一下解释步骤，看看清楚不清楚，是否让人容易理解。

蓝色拿破仑

好的，我尽量求善。朔风兄弟做的已经够细致的了，有些历史学家注释是不肯花这么多篇幅的。